Pi, pi, pi
14. marec 2008 ob 5:44 | Borut Levart |
vinu je resnica — radi pravijo eni, ki zagovarjajo pitje alkoholnih pijač. Ampak a vsi vemo, kako je nastalo to reklo? Alkohol vpliva različno na ljudi; eni postanejo bolj šaljivi, drugi bolj agresivni, vsi pa se pokažejo v resničnejši luči. Če pa rečemo — v piju je resnica, mislimo prav to. Zakaj kako bi drugače na njegovem decimalnem mestu 7 879 743 našli davčno številko Vesti? kar nakazuje slika zgoraj. Danes je 14. sušec ali obrnjeno 3/14, zato je danes pijev dan. Poklonimo mu par odstavkov.
—–Kjer je zrak, je kisik, pi pa je povsod. Ni samo v krogih in kroglah, pojavi se tudi v integralih, vsotah in produktih, rad se pojavi na nepričakovanih mestih v teoriji števil in pa seveda v fiziki, v naravi. V brezzračnem prostoru, kjer je vakuum najbolj vakuumski, najdemo komaj kak proton na kubični meter, tam pa se lahko širi svetloba in v svoji teoriji s seboj prenaša tudi pi.
—–Pi je eno izmed šestih najbolj znanih matematičnih števil: zlati rez, 0 in 1 so starejši od njega, naravno število e in imaginarna enota i pa dosti mlajša. Matematik-velikan Euler je povezal pet teh števil v že prav mistični enačbi, s katero je bilo spreobrnjenih že več krivovercev. To ni šala: pred njih so postavili enačbo in jim rekli, e na i pi plus ena je nič — in bog je.
—–Ker je pi neskončno pestro število, ga je človek spoznaval postopoma ter tu in tam določil kako novo decimalko. Konec 18. stoletja se je v tem meril naš Jurij Vega in naračunal prvih 126 decimalk, največ do takrat. Šampionski pas je nosil pol stoletja. Danes je znanih že na milijarde decimalk.
—–Kmalu po začetku decimalnega zapisa, natančno na 762. mestu, naletimo na vrsto šestih zaporednih devetk. Eni iščejo v tem seme kakega angela, mi pa vemo bolje, saj če pregledamo samo prvih milijon decimalk, najdemo še dvanajst vsaj tako dolgih verig, na mestu 638 852 na primer sedem trojk. Ker je pi mogoče in verjetno “normalno” število — tako da se različne števke v njegovem desetiškem zapisu pojavljajo z enako verjetnostjo 10 % — si upamo reči, da bi nekje našli tudi devet ali pa devetnajst zaporednih devetk. Samo dovolj globoko bi morali iti.
—–Baje je skupina pijevih slavljencev šla na današnji dan pred štirimi leti k avtistu-savantu Danielu Tammetu in ta jim je v petih urah zrecitiral dobrih 20 tisoč prvih decimalk. Če imate težave s pomnjenjem prvih desetih, kot jih imam sam, se mi morda pridružite pri pisanju pismi (iz angl. piems prek poems pesmi), v kateri morajo dolžine besed ustrezati zaporednim decimalkam. Do zdaj sem se spomnil tole: sam s tabo v mojih fantazijah … Ampak ni dobro, zadnja beseda ima 10 črk, ne devet.
14. marec, 2008 ob 10:47
3,1415926535897932384626433832795
Sam s sabo v svoji fantaziji se peljem skozi noč. Obraz sem smrti naslikal, morbiden, temačen, strašljiv. Tja na vrh grobovja grem kričat, na streho, nad noč! Prevaran, pod to razpeto neskončno odejo …
14. marec, 2008 ob 12:31
Hej, a ni bil Vega Moravčan… Kar probaj reči nekomu iz Moravč, da je Dolenjec…
Nekaj več piše na:
http://sl.wikipedia.org/wiki/Jurij_Vega
ali pa http://vlado.fmf.uni-lj.si/sola/1995/vega/vega1.htm
LP
14. marec, 2008 ob 14:17
@Izmet: ha ha!!
@andrej: pa bil sem prepričan, da se je rodil kot Dolenjec … No, sem zdaj popravil — v Slovenca.
14. marec, 2008 ob 15:46
@Izmet; Več o temi v tvoji - vesoljski in domači budni sel - dušni entiteti, razkrijmo potanko prijatelj. Res se nas pripoved lepa dotika, pa vseeno drži, ker spi prekrokan, niz je izgubil decimalko štiri.
(pozabil si 4 med “streho” in “nad noč”)
Za pidan nisem vedel, vem pa, da je na današnji dan rojen A.Einstein in je odšel K.Marx (na ta, za revolucinarje žalosten dan, je mali Albert praznoval 4 rojstni dan, tako da vse štima (glej gor)).
Bom že vedel, ker praznujem RD tudi sam.
14. marec, 2008 ob 16:52
vse o sebi, o, dušni prijatelj, ki vpiješ, kričiš, čez mrtva grobovja razodevaš, nevedno razkriješ ..
14. marec, 2008 ob 16:58
…vso to, res obnoreno nrav, besneč in hropeč pred noč, nad strehami tam..
14. marec, 2008 ob 17:55
2 7 9 5
si ujetnik fantazije svoje :)
14. marec, 2008 ob 18:29
Mene zabavata angleški pismi. Krajša (za 7 cifer):
How I wish I could calculate pi!
In daljša (33):
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again!!
1. Zadnji ni teh misli, da bi bila resnica v matematiki.
2. Zaporedna vzklika obupa — How I wish/want — lahko kažeta samo na veliko pomembnost števila in na to, kakšen močan vtis lahko pusti. Naj služi to kot opozorilo. (Saj, kaj se je zgodilo s profesorjem v filmu Pi, ko je bezal tja, kamor ne bi več smel? …)
14. marec, 2008 ob 18:36
Že dva dni ležim z vročino in imam časa preveč in sem opazil napako.
3,1415926535897932384626 4 33832795
Sam s sabo v svoji fantaziji se peljem skozi noč. Obraz sem smrti naslikal, morbiden, temačen, strašljiv. Tja na vrh grobovja grem kričat, na streho ČRNO, nad noč! Prevaran, pod to razpeto neskončno odejo …
14. marec, 2008 ob 19:56
3,14 - ZDA !!!…bi bi spet zakričal tisti iz Istrabenza ?… :-)))
14. marec, 2008 ob 22:09
Gardaland, vse najboljše za rojstni pidan!!
14. marec, 2008 ob 23:20
Hvala, sanja, zdj sm pa že pi.jan!
14. marec, 2008 ob 23:53
e^(i π) + 1 = 0 tudi mene vedno znova presune.
mmg: Robert: Zakaj si ne instalirate LaTeX plugin za Wordpress?
15. marec, 2008 ob 9:17
Kaj vse pomeni Pi….. ! :(
15. marec, 2008 ob 10:30
@Andrej: kako lepo si napisal enačbo! Vidiš, je vprašanje, čemu bi namestili LaTeX-ov vtičnik, če se da že kar dosti napisati s standardnimi znaki. Mislim, da ga znanost na Vesti ne rabi. (Za morebitno enačbo na zapis? …) Sem ga pa že videl “v akciji” in mi je všeč.
15. marec, 2008 ob 16:51
@Andrej: Ali nas lahko razsvetliš, nepoznavalce enačbe e na i krat pi plus ena je enako nič.
15. marec, 2008 ob 18:20
No, saj je že Robert v samem prispevku zapisal, da je lepota te enačbe, da povezuje 5 fundamentalnih števil: i, π, e, 0 in 1. Povezuje/vsebuje pa še fundamentalne operacije: seštevanje, množenje in potenciranje. In pa najbolj pomembno relacijo =.
- i je imaginarno število, katerega “vrednost” je kvadratni koren iz -1. Oz. I^2 = -1. Poleg realne osi vpelješ še imaginarno os, ki je pravokotna na realno in jo seka v točki 0.0. i se nahaja na imaginarni osi zgoraj, ravno za 1.0 razdalje od točke 0.0 na realni osi. Z i lahko tvorimo t.i. kompleksna števila.
- π (pi) je kvocient med obsegom kroga in njegovim premerom. Približna vrednost π = 3.1415926…
- e je osnova naravnega logaritma in ga lahko definiramo kot (1 + 1/x)^x pri čemer je x = ∞ (neskončno). Limita, v bistvu. Izračunaj to enačbo s kalkulatorjem, pri čemer vstavi za x dovolj veliko število, npr. 100000, in že dobiš kar lep približek e-ju. Približna vrednost e je 2.71828… e oz. naravni logaritem nastopa v mnogih enačbah, ki opisujejo naravne zakonitosti.
In zanimivo/”presenetljivo” je, da če e potenciraš na zmnožek i in pi, da dobiš -1. :-) Kogar to spoznanje ne gane/presune, je brez čustev (hecam se). :-)
No, upam, da nisem česa narobe napisal; moje znanje analize je že malo zarjavelo, pa tudi matematik nisem. Bolje bi bilo, da bi ti Robert odgovoril. :-) Vsekakor naj me Robert prosim popravi, če sem kaj narobe napisal.
15. marec, 2008 ob 19:07
> Kogar to spoznanje ne gane/presune, je brez čustev …
Sem že slišal mnenje, da kogar gane, da ta je lahko brez čustev za soljudi :) … Drugače si lepo razložil, Andrej, ni kaj popraviti. Lahko dodam nekaj:
e = e1 + 2 π i
e = (e1 + 2 π i)1 + 2 π i = e1 + 4 π i - 4 π² = e1 - 4 π²
Sem pred časom spraševal, pa ni znal nihče doreči, zakaj paradoks? …
15. marec, 2008 ob 21:41
A to so ta, transcedentalna števila. Paradoks, to je pa ena od definicij realnosti, dialektično kompleksno.
15. marec, 2008 ob 23:43
Tu ni nobenega paradoksa. :-)
e^(1 + 2 π i) = e^1 e^(2 π i) = e e^(π i) e^(π i) =
{ e^(π i) = -1 (po naši slavni enačbi e^(i π) + 1 = 0) }
= e (-1)^2 = e QED
Sedaj, ko sem dokazal, da je e^(1 + 2 π i) = e, iz tega sledi, da je π i = 0.
Kar pomeni, da člen 4 π i odpade in je res tudi e^(1 + 4 π i - 4 π²) = e^(1 - 4 π²). QED
16. marec, 2008 ob 0:17
Emm, malo se popravljam:
Da bi bilo π i = 0, je skregano z logiko; če množim imaginarno število i z realno konstanto, pač ne morem dobiti realnega števila 0.
Zadnji odstavek zgoraj, bi tako popravil takole:
Sedaj, ko sem dokazal, da je e^(1 + 2 π i) = e, iz tega sledi, da je e^(2 π i) = 1.
Torej je e^(4 π i) tudi 1.
e^(1 + 4 π i - 4 π²) = e e^(4 π i) e^(- 4 π²) = e e^(- 4 π²) = e^(1 - 4 π²). QED
16. marec, 2008 ob 12:02
@Gardaland: res, pi pa e sta “transcendentni” števili … Ne razumem tvojega komentarja; naj teh števil ne bi bilo v matematičnem dokazovanju “realnih trditev”? … Kot sem rekel, se ne posmehujem.
@Andrej: no, mojo uvodno vrstico samoumevno privzamemo, pravzaprav je drugače zapisana Eulerjeva enačba. V drugi vrstici si spregledal bistvo. Na levi strani je realno število, e ali 2.18 …, na desni strani je realno število, e1 - 4 π² ali skoraj nič! …
16. marec, 2008 ob 18:57
Da, caka. Gledal sem drevo, nisem pa videl gozda. :-)
Kompleksna števila se včasih obnašajo malo drugače kot realna, zato je potrebna previdnost.
Da vidimo, da je e^(1 + 2 π i) preprosto kar e, ni treba komplicirati z izpeljavami; zadostuje geometrijski pogled na kompleksna števila. e^(1 + 2 π i) je v polarni obliki e e^(2 π i), kar je pa enako kot e e^(4 π i) in - še bolje - enako kot e e^(0 i). Radij (absolutna vrednost) je e, kot pa 0; tole število torej leži na realni osi in ni nič drugega kot e. Če pa e spet potenciramo na (1 + 2 π i), pa na enak način spet dobimo e.
Take izpeljave bi se torej šel lahko tudi takole:
(e^(1 + 4 π i))^(1 + 4 π i) = e^(1 - 16 π²) in bi torej dobil še bolj čudne rezultate.
Če je pa kaka globja razlaga, zakaj pri takih izpeljavah, kjer se ne poslužujemo zdrave kmečke pameti, pride do čudnih (”paradoksalnih”) rezultatov, nas pa, Robert, prosim že enkrat razsvetli. :-)
16. marec, 2008 ob 19:13
> še enkrat razsvetli
Ne morem, ker ne poznam točnega odgovora. ;)
16. marec, 2008 ob 19:30
Verjetno je dobro, da je pri igranju s kompleksnimi števili kot “normaliziran” med -π in π. Zdaj, zakaj pride do čudnih rezultatov, če kot ni “normaliziran”, dasiravno predstavlja tako število povsem enako število (rotacija za 2 π), je pa vprašanje. Mogoče zato, ker imamo na intervalu -π in π “magično” število 0.
19. marec, 2008 ob 17:31
Super, super, Robert spet raztura…
Nekako sem se ravno v preteklih dneh (kakšna dva tedna nazaj) ukvarjal s pi-jem. V bistvu me je zanimalo, katera bi bila miljardita decimalka pi-ja. Na enem blogu je pisalo, da naj bi bila 7.
Sem pa spotoma malo bral tudi po Wikipediji o pi-ju, ker sem prvič srečal normalna števila. Če se prav spomnim, piše, da baza ni pomembna in da mora verjetnost števk biti enaka v poljubni bazi, ne samo v desetiški.