Dokazaje gledaje

   Dve risbi za dva luštna izraza s funkcijami arkus tangens.

Pred časom je spletni kolega siruche predlagal, naj bo med znanostjo kakšna uganka za pretegovanje sivih celic (10. avgust, 13:25). Tokratni zapis je takšen: iz risb, s katerimi je moč dokazati matematične resnice brez računanja, samo z gledanjem. Slike spodaj so na desni oblite z rešitvami. Vidi se samo prvo, ostale so pobeljene in jih je treba označiti z miško, potem se vidi tudi njih. Mogoče jih kdo noče videti, mogoče bi rad naloge ugnal sam.

-

Vsota prvih n lihih števil je enaka n², se pravi 1 + 3 + 5 … + 2 n - 1 = n², kar kaže slika levo, na kateri je poudarjen tretji L-pas ali tretje liho število.

-

Z očmi uokvirimo pravokotnik z enako polnimi kot praznimi krogci. Stranici merita, recimo 3 in 4, zgoraj in spodaj pa sta prilagajoča se trikotnika polnih in praznih krogcev. Število enih je 3 krat 4 na pol ali 1 + 2 + 3. Iz poljubno velikega pravokotnika potemtakem sledi: 1 + 2 + … + n = n (n + 1) / 2. To je ugotovil, malo drugače, že Gauss. (Glej zapis Stare sablje.)

-

Piramide se združijo v telo. Če bi sestavili dve takšni telesi, bi dobili kvader, velikosti n (n + 1) (2n + 1). Posamezna piramida pa je sestavljena iz kvadratnih plošč, tako da velja 1² + 2² + … + n² = n (n + 1) (2n + 1) / 6.

-

Kvadrat vsote prvih n naravnih števil je enak vsoti kubov, torej 1³ + 2³ + … + n³ = (1 + 2 + … + n)², kot kaže slika s petimi kvadratnimi mrežami in L-pasovi, v katerih je dovolj prostora za dosti ustreznih mrež.

-

T(n) je n-to trikotniško število 1 + 2 + … + n; prva štiri so torej 1, 3, 6 in 10. Potem velja 8 T(n) + 1 = (2 n + 1)², kot kaže slika levo. Mrežo kvadratkov s stranico 9 sestavljajo: osem stopničastih trikotnikov - to je osem števil T(4) - in kvadratek v sredini.

-

Točke predstavljajo petkotniška števila P(n). Iz najbolj desnega oglišča se lahko sprehajamo naokrog po vse večjih petkotnikih, torej z 1, 5, 12, 22 … točkami, ki se razčetverijo na tri trikotnike in črto točk. Tako je peto petkotniško število P(5) enako trikratniku četrtega trikotniškega števila T(4) plus pet. In če velja za šest, velja vedno (indukcija), torej ima, da velja P(n) = 3 T(n-1) + n.