Animirana božična nogavica

Božič je mimo, novoletno pa se obdarujemo do konca. Božična nogavica (angl. christmas stocking) je en od simbolov tega časa. Ponavadi se jo nastavlja na božični večer; kdor ima kamin, jo rad obeša tod. Nakar jo nekdo drug, to je mogoče Božiček, napolni z drobnimi, igračkarskimi in sladkimi rečmi. Ideja se je rodila v Nemčiji, kje v Evropi pa namesto nogavic nastavljajo čevlje, zloščene in prezračene čevlje … Vendar tole ne bo kulturološki zapis, temveč pojdimo na glavni, matematični del in ga zaokrožimo s teoremom božičnega štumfa (nem. der Strumpf nogavica).

Moramo spoznati pomen matematične kombinacije. Recimo, da imamo sedem nogavic v sedmih mavričastih barvah (angl. [1] Roy G. Biv); ne parov, ampak sedem polovičk, nogavičk. Koliko različnih parov lahko sestavimo? Rdeče-oranžnega, rdeče-rumenega, rdeče-zelenega … in indigo-vijoličastega. Vseh 21, je do zdaj že kdo izračunal. Število kombinacij je namreč enako (7 nad 2) ali 7! / (5! 2!) = 7 6 / 2 = 21, kjer predstavlja klicaj operacijo faktoriele, recimo 4! = 4 3 2 = 24. V splošnem ima bitje k nog in m različnih nogavičk, število nogavičnih oblek pa je (n nad k) = n! / ((n - k)! k!).

Vrednosti binomskega simbola (n nad k) radi zapišemo v obliki trikotnika, rečemo mu Pascalov trikotnik. Slika levo: od zgoraj navzdol narašča n, od leve proti desni se veča k, oba pa začneta iz nule. Tako najdemo vrednost (7 nad 2) v 8. vrstici in tretjem pa tudi 6. stolpcu, saj ima trikotnik navpično simetralo. Bitje s petimi nogami ima tako na razpolago isto število nogavičnih oblek kot mi, če imamo vsi po sedem različnih nogavičk, saj (7 nad 2) = (7 nad 5).

Pascalov trikotnik ima še bolj zanimive lastnosti. Ena je ta: da če začnemo v prvem elementu poljubne vrstice in se pomikamo po en element navzdol in v desno poljubno daleč ter te vrednosti seštejemo, dobimo vsoto, ki je zapisana v elementu eno vrstico niže in tik levo od konca seštete verige, kot kaže slika desno. Video iz uvoda vsebuje nogavice različnih dolžin in mest v trikotniku, vedno pa je vsota števil na zelenih diskih enaka vrednosti v rdečem. Temu se reče teorem božične nogavice.

Sam jo rad animiram in si zraven igram: Jingle bells, jingle bells, / Jingle all the way; / Oh! what fun it is to ride / In a one-horse open sleigh. Kar ponavljam, dokler se ne naveličam. V videu se kitica ponovi petkrat, ampak se lahko ponovno stisne play. Sliko bi se dalo bolje uskladiti z zvokom, ampak s programom Windows Movie Maker sam tega ne znam. Za oboževalce Pascalovega trikotnika in teorema božične nogavice prilagam večji trikotnik, prevrnjen na glavo.