(-0:53) “And so on if the series of z’s will always stay / close to z and never trend away / that
point is in the Mandelbrot set / Mandelbrot set …” ([1] YouTube, via [2] Trači iz sveta znanosti)

Marsikdo je že videl stvar s slikice (a) desno spodaj, reče se ji Mandelbrotova množica. Njen rob je v resnici neskončno zapleten in mu rečemo fraktal. V resnici, rekli smo v resnici. V kakšni resnici? Širina slike je 150 pikslov in torej ni posebej zapletena. A mislili smo drugo, matematično resnico. Še bolje je reči obstoj. Vesolje lahko namreč damo na troje: v naši glavi so misli, okoli nas reči in zunaj časa, prostora ter neodvisno od nas živi matematika s svojimi otroci.

Mandelbrotovo množico rišemo v ravnini, kjer na vodoravno os nanašamo realni in na navpično imaginarni del kompleksnega števila. Matematično bitje je omejeno v kvadratu širine tri okoli izhodišča. Drugod ga ni, v tem predelu pa je njegovo življenje zelo zelo, smo rekli da neskončno pestro. Množico rišemo tako, da številu 0 prištejemo kompleksno število k, rezultat kvadrirarmo in mu vnovič prištejemo k ter rezultat zopet kvadrirarmo in mu znova prištejemo k itn. Rezultatu se lahko dogodi dvoje: ali pobegne iz ograje ali pa ostane znotraj. Števila k, ki rezultata ne poženejo stran, pobarvamo črno. To je Mandelbrotova množica. Ostala števila k pobarvamo glede na hitrost bega; izbrali smo barvni prehod od bele do temno modre: števila tik zunaj roba oddaljijo rezultat najpočasneje, pobarvamo jih belo. Bolj oddaljena oddaljijo rezultat hitreje, pobarvamo jih temneje modro. Na slikah (a) in (b) nakažemo zaporedni povečavi, s čimer kimamo fraktalnosti ali neskončni pestrosti bitja. Pod to nadfino izdelano strukturo ni podpisan človek, marveč enostavno matematično pravilo.

To je že marsikdo vedel. Ni pa tako znano, da matematik Benoit Mandelbrot ni prvi opazoval Mandelbrotove množice. Prej so jo izrisali drugi ljudje. Mandelbrot je vendarle sodeloval z njimi, je največji popularizator fraktalov in stvar so poimenovali po njem. Veliko je črpal od svojega učitelja Gastona Julie in njegovega kolega Pierra Fatoja. Opisano transformacijo sta slednja proučevala že pred stotimi leti. In pred Mandelbrotovo so ljudje spoznali Julijevo množico. Obe pa sta povezani; zadaj je ista matematika, samo opazovanje je drugo. Prej smo zaznamovali ravnino števil k s črno ali belo modro glede na to, ali je zaporedno računanje izsililo rezultat stran od izhodišča ali ga je obdržalo v bližini. Julijevo množico pa zaznamujejo začetni rezultati. Pri fiksnem k štartamo ne z nič kot prej, ampak s poljubnim številom v ravnini. Zanimajo nas ta števila. Kakšna poženejo rezultat v neskončnost, druga ne. Izberimo k malo stran od izhodišča. Na sliki levo zgoraj so začetna števila, ki rezultata ne izženejo, pobarvana črno, druga svetlo. Rob množice je spet fraktal.

Kako točneje sta povezani množici Mandelbrota in Julie, kaže risanka levo. Najprej vidimo znano Mandelbrotovo množico. Izberimo konstanto k z narisane krožnice in določimo Julijevo množico. Ko je k znotraj Mandelbrota, je Julia iz enega kosa ali povezan, kar pomeni, da se lahko prosto gibamo po vsem črnem predelu, ne da bi šli na svetlo. Ko pa se bliža robu, postaja Julia vse bolj razčlenjena (ali! fraktalna iz lat. frāctus zlomiti) in čim k prestopi rob Mandelbrota, Julia razpade na nepovezane otočke, ki jim rečemo Fatojev prah. Ta se vse bolj redči, nakar izgine in ko se spet pojavi, se zgodba ponovi. Iz praha prek nepraha nazaj v prah.

Naj bo dovolj fraktalnega. Rekli smo, da Mandelbrotove množice najprej ni izrisal Benoit Mandelbrot sam, ampak eni drugi ljudje. To je bilo okoli leta 1980. Pa prej, kaj prej Mandelbrotova množica ni obstajala? V našem svetu ne. Vselej pa je živela v Platonovem svetu matematičnih entitet. Človek med lomastenjem tam kdaj kaj najde in prinese nazaj v naša svetova misli in reči. A pa lahko nekaj obstaja, če sami ne obstajamo ali če stvari ne poznamo, je mogoče sploh ne moremo spoznati? No, če Mandelbrotova množica kje obstaja, že ne obstaja v naših mislih, ker je ne more nihče zaobjeti v celoti. Krivico ji delajo tudi razni izpisi, ker so kvečjemu približki pri majhnih povečavah.

Dalje ne poskušam iti. Bralca prepuščam pesmi [3] Apokalipsa Janeza Menarta in misli Roberta Heinleina, sprva študenta matematike, potem pisatelja trde ZF, kot so Vesoljski bojevniki: “Vse pomembno je zapisano v matematiki.”